Matematiche Complementari – UNIBAS

Il corso di Matematiche complementari (SD MAT04) è destinato a studenti del II anno del corso di laurea magistrale in Matematica.

Il corso prevede 48 ore (6 cfu) di lezione (suddivise in lezioni a carattere laboratoriale e seminari).

04/10 Primo incontro con gli studenti. Patto formativo.

La matematica degli egizi, dei sumeri e dei babilonesi
08/10 La matematica greca: la scuola Pitagorica: tutte le cose che si conoscono hanno un numero, la scala pitagorica, i  numeri non sono sufficienti: le grandezze incommensurabili. il teorema di Pitagora e una sua dimostrazione; il teorema inverso del teorema di Pitagora.
11/10 Un altro modo per dimostrare il teorema di Pitagora (a partire dal primo teorema di Euclide). Superfici e superfici equivalenti. Primo teorema di Euclide. I numeri primi. Paradosso dell’esistenza di grandezze non commensurabili. Teorema sull’esistenza dei triangoli impossibili. Dimostrazioni e dimostrazioni per assurdo. Talete. Teorema sulla infinità dei numeri primi
15/10 Euclide e i suoi Elementi. Contenuto del libro I: definizioni, postulati, assiomi, le proposizioni costruttive, una dimostrazione sbagliata, I tre criteri di congruenza; teorema del pons asinorum, teorema (I, 48).
18/10 La teoria delle grandezze omogenee, il postulato di Archimede, assioma di continuità, grandezze commensurabili, proporzionalità; teorema di esistenza del quarto proporzionale. Equiscomponibilità. Equivalenza tra un parallelogramma e un rettangolo, equivalenza tra un triangolo e un rettangolo, Platone e la duplicazione del quadrato
25/10 Euclide e la teoria delle grandezze omogenee, equiscomponibilità di un poligono regolare e di un rettangolo; l’equiscomponibilità come relazione di equivalenza; primo e secondo teorema dell’angolo esterno; criterio di parallelismo; crisi della geometria euclidea; modelli di geometrie non euclidee; il modllo di Klein; il modello di Poincarè; altre geometrie.
29/10 Le geometrie non euclidee; Riemann; la geometria iperbolica; dall’approccio sintetico all’approccio analitico
05/11 (3h) Geometrie euclidee e non euclidee; Cartesio e il discorso sul metodo; operazioni tra segmenti; il metodo cartesiano; aritmetizzazione della geometria: sparizione delle figure. La costruzione dei numeri; la terna di Peano; il principio di induzione; il paradosso del mucchio di grano
08/11 (3h) La terna di Peano; definizione per ricorsione, il problema delle strette di mano, l’anello degli interi relativi, esistenza e unicità delle terne di Peano, riformulazione del principio di induzione, la rappresentazione posizionale dei numeri naturali,
12/11 (3h) Il campo dei razionali, il metodo delle sezioni di Dedekind. La struttura algebrica dei reali.
15/11 (3h) L’infinito. Breve storia dell’infinito. Infinito potenziale e infinito attuale.il paradosso dell’infinito, il paradosso dei quadrati perfetti, il paradosso delle ruote concentriche, concetto di equipotenza; l’assioma della scelta, lemma di Zorn, insiemi numerabili ed enumerabili; Q è numerabile, NxN è numerabile,
19/11 (3h) La non numerabilità di un intervallo. Dimostrazione topologica e dimostrazione per diagonalizzazione; equipotenza degli intervalli chiusi e degli intervalli aperti; La potenza del continuo, Superare la potenza del continuo. L’insieme delle parti; Paradosso del quadrato e del suo lato.Teorema di Cantor
22/11 (3h) Ipotesi del continuo, Categoricità, completezza, consistenza e indipendenza.Hilbert ed Euclide e confronti con gli strutturalisti.
26/11 (3h) Hilbert e l’infinito; nuovi oggetti matematici: parole e linguaggi
29/11 (3h) L’idea di interdisciplinarità; il congresso di Parigi del 1972; multidisciplinarità, interdisciplinarità e transdisciplinarità. Esempi di progettazioni didattiche interdisciplinari
03/12 (3h) L’interdiscplinarità secondo Miller, Apostel, Jantsch, Bourguignon. Boisot (interdisciplinarità lineare, strutturale, ristretta), Lichnerowicz, Bassong e la transdisciplinarità. Edgar Morìn e le tre sfide, la testa ben fatta.
13/12 (3h) Il teorema di Ceva, dalla matematica alla statica, teorema di Menelao, teorema di Stewart, triangoli ceviani, ortici, pedali; il problema di Fagnano, dimostrazione con simmetrie assiali Fej’er, quadrilateri ortici; teorema di Varignon, quadrilateri ortici principali, il biliardo: biliardi piani e biliardi poligonali.
17/12 (3h)