Materiale didattico

Lezione del 13/03/2014

Funzioni reali di una variabile reale: estremi di una funzione; minimi e massimi; funzioni monotone; funzioni pari e dispari; funzioni iniettive, suriettive, biettive; funzioni monotone a tratti. Esempi di funzioni reali di una variabile reale (funzione lineare, funzione valore assoluto, funzione parte intera, funzione caratteristica di un insieme; funzione potenza con esponente un intero positivo; funzione potenza con esponente un intero negativo; funzione radice n-esima, funzione potenza con esponente un numero reale; funzione esponenziale; funzione logaritmo); la funzione inversa; immagine e immagine reciproca; restrizione e prolungamento di una funzione; funzioni crescenti e decrescenti.

Lezione del 14/03/2014

Funzioni reali di una variabile reale (funzioni periodiche; funzioni seno e coseno; funzioni tangente e cotangente; le funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente; le funzioni iperboliche) Esercitazione: calcolo degli insiemi di definizione delle funzioni reali di una variabile reale.

Lezione del 20/03/2014

Limiti e continuità delle funzioni reali di una variabile reale: premessa storica alla nozione di limite; nozioni di topologia; derivato, interno, frontiera, chiusura di un insieme; insiemi chiusi, insiemi aperti; teorema di Bolzano-Weierstrass; insiemi compatti della retta numerica; teorema di Heine-Borel; punto di accumulazione. Esercitazione: campi di esistenza di funzioni trascendenti; calcolo delle periodicità delle funzioni

Lezione del 21/03/2014

La nozione di limite per una funzione reale di una variabile reale; Teorema di unicità del limite; nozione di limite sinistro e di limite destro. Teorema sull’esistenza del limite di una funzione monotona. Nozione di continuità per una funzione reale di una variabile reale; teorema sulla continuità di una funzione monotona. Teorema di Bolzano sulla continuità di una funzione monotona. Funzioni reali di due variabili reali; linee di livello; campi di esistenza delle funzioni reali di due variabili reali. Esercitazione: curve nel piano cartesiano (parabola, ellisse, circonferenza, iperbole); calcolo del campo di esistenza delle funzioni reali di due variabili reali;

Lezione del 27/04/2014

Funzioni reali di una variabile reale; punti di discontinuità (I specie, II specie, III specie); teorema di permanenza del segno; caso di l=0; teorema inverso; teorema dei carabinieri; operazioni con i limiti; limiti di una funzione composta; limite della somma di due funzioni; limite del prodotto di due funzioni (s.d) limite del rapporto di due funzioni; le forme indeterminate. I limiti notevoli

Lezione del 28/03/2014

Teorema degli zeri; teorema di Weierstrass (sd); I teorema dei valori intermedi; teorema inverso; II teorema dei valori intermedi; criterio di invertibilità; prolungamento per continuità; continuità uniforme; teorema di Cantor. Applicazioni dello studio dei limiti allo studio di una funzione; asintoti orizzontali, verticali e obliqui di una funzione.

Esercitazione: calcolo degli asintoti e grafico probabile di una funzione

Lezione del 03/04/2014

Infinitesimi ed infiniti; confronto fra infinitesimi; ordine di un infinitesimo; infinitesimi equivalenti; applicazioni al calcolo dei limiti; gli infiniti; confronto fra infiniti; ordine di un infinito; gerarchia degli infiniti; applicazioni al calcolo dei limiti. Nozioni di Topologia in R^2; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; definizione di intorno, punto di accumulazione, insiemi aperti, chiusi, limitati; Il limite per una funzione in due variabili

Esercitazione: calcolo delle linee di livello; verifica dei limiti di funzioni in due variabili

Per gli argomenti sulle funzioni in due variabili fare riferimento al testo Fusco-Marcellini-Sbordone “Elementi di Analisi Matematica 2″ Cap. 2 pp.35 – 46

Lezione del 04/04/2014

Il calcolo differenziale: introduzione storica; il problema della tangente; il rapporto incrementale; la nozione di derivata; il significato geometrico di derivata; calcolo dell’equazione della retta tangente alla funzione in un punto

Lezione del 10/04/2014

Il calcolo differenziale per le funzioni di una variabile reale: legame tra continuità e derivabilità; derivata sinistra e derivata destra; punti di non derivabilità: punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale; derivate fondamentali; teorema sulla derivabilità di una combinazione lineare di due funzioni; teorema sulla derivabilità del prodotto di due funzioni; teorema sulla derivabilità del quoziente di due funzioni; teorema sulla derivabilità di una funzione composta; teorema di Rolle e suo significato geometrico; teorema di Lagrange e suo significato geometrico; teorema di Cauchy e suo significato geometrico; teorema di l’Hospital

Esercitazione: calcolo di derivate; applicazioni del teorema di l’Hospital al calcolo dei limiti e risoluzione delle forme indeterminate;  studio della continuità e della derivabilità di una funzione.

Lezione dell’11/04/2014

Funzioni reali di due variabili reali: le derivate parziali, derivabilità, derivate successive; teorema di Schwarz; il gradiente; l’hessiano. Condizioni di esistenza di massimi e minimi relativi; condizioni di esistenza di massimi e minimi assoluti. Caso di funzioni con hessiano nullo.

Lezione del 14/04/2014

Esercitazione: calcolo dei punti critici di una funzione in due variabili; continuità, derivabilità e differenziabilità

Per gli aspetti teorici si faccia riferimento al testo Fusco-Marcellini-Sbordone “Elementi di Analisi Matematica 2″ pp. 46-85

Lezione del 02/05/2014

Calcolo differenziale per le funzioni reali di più variabili reali e funzioni vettoriali; nozione di differenziale per una funzione di più variabili reali; le derivate parziali; significato geometrico della derivata parziale; derivabilità; derivate successive; derivate direzionali; teorema di Schwarz; differenziabilità; differenziabilità e approssimazioni lineari; continuità e differenziabilità; formula del gradiente; significato geometrico del gradiente;

Lezione del 08/05/2014

Massimi e minimi per le funzioni reali di due variabili reali; massimi e minimi locali; funzioni con gradiente nullo; i punti critici di una funzione; la matrice hessiana; test dell’hessiana; massimi e minimi su domini chiusi; teorema di Weierstrass; il metodo dei moltiplicatori di Lagrange; significato geometrico del metodo di Lagrange; funzioni implicite; teorema di Dini; regolarità degli insiemi di livello; baricentro e momento d’inerzia.

Esercitazione: calcolo dei punti critici; calcolo dei massimi e minimi assoluti e relativi; applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Lezione del 09/05/2014

Il calcolo integrale: introduzione storica, il metodo di esaustione; primitive e integrazione indefinita; nozione di integrale per una funzione reale continua; integrale secondo Riemann; teorema della media; teorema fondamentale del calcolo integrale.

Lezione del 15/05/2014

Il calcolo integrale: il teorema di Torricelli-Barrow, formula di Newton-Leibnitz, nozione di integrale in alcuni concetti di fisica; la torre Eiffel; il calcolo delle aree; area tra due curve; integrali delle funzioni pari e dispari; solidi di rotazione; calcolo del volume dei solidi di rotazione; metodo delle sezioni.

Lezione del 16/05/2014

Esercitazione: integrazione di funzioni elementari; integrazione immediata; integrazione per decomposizione in fratti semplici; integrazione per parti; integrazione per sostituzione; applicazioni al calcolo delle aree.

Curve piane e sghembe:omeomorfismi;  curve semplici aperte; curve semplici chiuse; curve semplici piane in coordinate polari; orientabilità delle curve semplici; curve rettificabili; ascissa curvilinea. Lunghezza di una curva

Lezione del 22/05/2014

Curve notevoli: la cicloide, l’elica cilindrica, la spirale di Archimede; la spirale logaritmica; curve di Jordan, teorema di Jordan, l’asteroide, il deltoide, le rodonee.

Forme differenziali lineari; indipendenza dalla parametrizzazione

Lezione del 23/05/2014

Integrali curvilinei lungo curve semplici regolari; integrali curvilinei lungo curve semplici generalmente regolari; applicazioni degli integrali curvilinei al calcolo del baricentro di una lamina sottile di densità d(x,y,z).

integrali multipli: introduzione; somme di Riemann, convergenza delle somme di Riemann, calcolo degli integrali doppi su rettangoli, formule di riduzione degli integrali doppi; integrazione su domini generici; proprietà dell’integrale doppio; integrazione su regioni semplici: formule di riduzione; integrazione su domini non semplici

Lezione del 30/05/2014

Forme differenziali su curve generalmente regolari, teorema fondamentale per gli integrali curvilinei; forme differenziali esatte; forme differenziali chiuse; domini connessi; caratterizzazione delle forme differenziali esatte; chiusura ed esattezza; domini semplicemente connessi; lavoro di una forza; la circuitazione; campi vettoriali; campi conservativi; caratterizzazione dei campi conservativi; il rotore.

Integrali doppi: formule di riduzione degli integrali doppi; cambiamento di variabili (passaggio a coordinate polari), la matrice jacobiana

Esercitazione: calcolo della lunghezza di curve notevoli; calcolo di integrali curvilinei lungo curve generalmente regolari; integrali curvilinei di forme differenziali; calcolo di una primitiva di una forma differenziale; integrali doppi su domini generalmente regolari; calcolo di integrali doppi con passaggio a coordinate polari

Lezione del 04/06/2014

Applicazione dell’integrale doppio: calcolo della densità, dal caso discreto al caso continuo, il baricentro di sistemi discreti e di sistemi continui, il momento d’inerzia di sistemi rigidi, relazione tra integrali doppi e integrali curvilinei: le formule di Gauss-Green. Integrali tripli, formule di riduzione degli integrali tripli, risoluzione per fili e per strati; coordinate polari, coordinate cilindriche, coordinate sferiche.

Lezione del 05/06/2014

Equazioni differenziali: nozioni generali; teorema di esistenza e unicità locale; teorema di esistenza e unicità globale; equazioni differenziali del I ordine omogenee a variabili separabili; equazioni differenziali del I ordine non omogenee; equazioni di Bernoulli; equazioni differenziali da risolvere con cambio di variabili; equazioni differenziali del II ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee; equazioni differenziali di Eulero; equazioni differenziali risolvibili con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie; il problema di Cauchy

Lezione del 06/06/2014

Complementi sul calcolo integrale: integrali impropri. Integrali superficiali; Superfici di rotazione e teorema di Pappo-Guldino; teorema della divergenza; teorema del rotore. Campi vettoriali; campi irrotazionali e campi conservativi; flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie

Lezione del 11/06/2014

Le successioni: introduzione; formalizzazione; rappresentazione grafica; proprietà delle successioni: limitatezza, convergenza; divergenza; infiniti e infinitesimi; la monotonia; la successione geometrica; limiti e ordinamento; legame tra successioni e funzioni (teorema ponte); le serie numeriche; criteri di convergenza; la serie geometrica; serie a termini positivi; serie armonica generalizzata; convergenza per serie a termini positivi (criteri del confronto, del rapporto e della radice; serie a termini qualsiasi

Lezione del 12/06/2014

Esercitazione: risoluzione di esercizi su tutto il programma svolto

Lezione del 13/06/2014

Serie di funzioni: convergenza puntuale e convergenza uniforme, convergenza assoluta e convergenza totale; criterio di Cauchy per la convergenza uniforme, criterio di Cauchy per la convergenza puntuale; criterio di Weiestrass. Serie di funzioni note; serie di potenze; raggio di convergenza; criterio di convergenza della radice; criterio di convergenza del rapporto; la serie di Taylor di una funzione; la serie di Maclaurin di una funzione; sviluppi in serie di Maclaurin per le funzioni esponenziale, seno, coseno, logaritmo, arcotangente.

Esercitazione: risoluzione di esercizi su tutto il programma svolto

Il materiale qui presente è  tratto dai testi sottoindicati e rielaborato a scopi didattici:

Marcellini, Sbordone “Elementi di analisi matematica 1″ – Liguori

Marcellini, Sbordone “Elementi di analisi matematica 2″ – Liguori

Barutello, Conti, Ferrario, Terracini, Verzini “Analisi matematica 2″ - Apogeo

Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi matematica 1″ – Zanichelli

Fiorenza “Esercitazioni di analisi matematica” – Liguori

Fedele “Analisi Matematica 1″ – Liguori

Fiorenza, Greco “Lezioni di analisi matematica” – Liguori

Larson, Edwards –  ”Calculus” -Brooks/Cole

D’Apice, Manzo “Verso l’esame di matematica” – CUES