Programma del corso

PROGRAMMAZIONE DELL’ ATTIVITA’ DIDATTICA

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DEL MOLISE

Dipartimento di Bioscienze e Territorio – Corso di studi in Ingegneria edile

Anno Accademico 2013/14

Disciplina: Analisi Matematica

Docente: prof. Roberto Capone

I modulo (tot. 60h di cui 18 già svolte nel primo semestre)

Attività didattica dal 13/03/2014 al 31/03/2014

Obiettivi dell’azione didattica

Sapere Saper fare
Le definizioni di funzione iniettiva; suriettiva; biettiva

L’insieme di definizione per le funzioni reali di una variabile reale

Il concetto di limite per le funzioni reali

La definizione di funzione continua

i teoremi sulle funzioni continue

Le definizioni di infinito e infinitesimo

Le forme indeterminate

L’insieme di definizione per le funzioni reali di più variabili reali

I limiti notevoli

Individuare insieme di definizione, iniettività, suriettività, biettività, (dis)parità, (de)crescenza, periodicità di una funzione;

Trovare l’inversa di una funzione

Rappresentare il grafico di funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche, trignonometriche

Risolvere equazioni e disequazioni esponenziali

Risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche

Risolvere equazioni e disequazioni trigonometriche

Verificare il limite di una funzione mediante la definizione

Verificare il limite di una successione mediante la definizione

Calcolare il limite di somme, prodotti, quozienti e potenze di funzioni

Calcolare limiti che si presentano sotto forma indeterminata

Confrontare infinitesimi e infiniti

Studiare la continuità o discontinuità di una funzione in un punto

Saper calcolare l’insieme di esistenza delle funzioni reali di più variabili reali

Attività svolta

13/03

3h

 Lezione frontale. Funzioni reali di una variabile reale: estremi di una funzione; minimi e massimi; funzioni monotone; funzioni pari e dispari; funzioni iniettive, suriettive, biettive; funzioni monotone a tratti. Esempi di funzioni reali di una variabile reale (funzione lineare, funzione valore assoluto, funzione parte intera, funzione caratteristica di un insieme; funzione potenza con esponente un intero positivo; funzione potenza con esponente un intero negativo; funzione radice n-esima, funzione potenza con esponente un numero reale; funzione esponenziale; funzione logaritmo)
14/03

7h

 Lezione frontale. Funzioni reali di una variabile reale (funzioni periodiche; funzioni seno e coseno; funzioni tangente e cotangente; le funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente; le funzioni iperboliche)

Esercitazione: calcolo degli insiemi di definizione delle funzioni reali di una variabile reale.
20/03

10h

 Lezione frontale: Premessa storica sulla nozione di limite; nozioni di topologia della retta numerica; derivato, interno, frontiera, chiusura di un insieme; insiemi chiusi e insiemi aperti; teorema di Bolzano-Weierstrass; insiemi compatti della retta numerica; teorema di Heine-Borel; punti di accumulazione a sinistra o a destra per un sottoinsieme di R. Elementi di topologia del piano cartesiano.
21/03

14h

 Elementi di topologia in Rn; proiezioni e sezioni di un sottoinsieme di Rn. Insiemi connessi di Rn. Funzioni reali di più variabili reali; diagramma di una funzione reale di più variabili reali; estremi, minimi e massimi assoluti e relativi. Funzioni vettoriali.

Esercitazione: calcolo degli insiemi di definizione delle funzioni reali di più variabili reali.
27/03

17h

 Lezione interattiva e problem solving: nozione di limite per una funzione reale di una variabile reale; teorema di unicità del limite; teorema sul carattere locale della nozione di limite; limite sinistro e limite destro; teorema sull’esistenza del limite di una funzione monotona; nozione di continuità per una funzione reale; teorema sulla continuità di una funzione monotona; teorema di Bolzano. Punti di discontinuità di una funzione

Esercitazione: verifiche dei limiti; punti di discontinuità.
28/03

21h

 Teoremi di confronto si limiti delle funzioni: teorema del confronto; teorema di permanenza del segno; teorema di regolarità per confronto; operazioni sui limiti.

Esercitazione: limiti notevoli; limiti in forma indeterminata.

Attività didattica dal 01/04 al 30/04

Obiettivi dell’azione didattica

Sapere Saper fare
Le funzioni reali di una variabile reale

Il concetto di limite per le successioni

I teoremi fondamentali sui limiti

Il concetto di derivata e il suo significato geometrico

La retta tangente al grafico della funzione in un punto

Le regole di derivazione

I teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange, Fermat, L’Hospital

Le proprietà di monotonia di una funzione reale di una variabile

I metodi di approssimazione per la risoluzione delle equazioni

I massimi e minimi per le funzioni di due variabili reali

Calcolare gli asintoti di una funzione

Risolvere i limiti delle successioni

Individuare la relazione tra limite di una funzione e limite di una successione

Disegnare il grafico probabile di una funzione

Calcolare la derivata di una funzione mediante la definizione

Calcolare la retta tangente al grafico di una funzione

Calcolare la derivata di una funzione mediante le derivate fondamentali e le regole di derivazione

Calcolare le derivate di ordine superiore

Calcolare il differenziale di una funzione

Applicare il teorema  di Lagrange, di Rolle, di Cauchy,  di De L’Hospital

Determinare gli intervalli di (de)crescenza di una funzione

Determinare i massimi, i minimi e i flessi orizzontali mediante la derivata prima

Determinare i flessi mediante la derivata seconda

Risolvere i problemi di massimo e di minimo

Tracciare il grafico di una funzione

Risolvere un’equazione in modo approssimato

Calcolare le derivate parziali per le funzioni di più variabili reali

Calcolare l’hessiano di una funzione e saper riconoscere i punti critici di una funzione

Attività svolta

03/04

24h

 Limiti e successioni: le successioni numeriche; rappresentazione grafica, esempi; limite di una successione; successioni numeriche: limitatezza; successioni convergenti e divergenti; teorema di unicità del limite; infiniti e infinitesimi; la monotonia, teorema sul limite delle successioni monotone; operazioni coi limiti; successioni e polinomi; il numero di Nepero; la successione geometrica di ragione q; limiti e ordinamento; teorema di permanenza del segno nella prima forma e nella seconda forma; teorema del confronto; legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni (teorema ponte);
04/04

28h

 Lezione frontale. Teorema di Weiestrass; teorema degli zeri; teorema di Bolzano; funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor.

Esercitazione: applicazioni dei limiti allo studio delle funzioni; calcolo degli asintoti.
10/04

31h

 Limiti e continuità per le funzioni reali di più variabili reali; infinitesimi, infiniti e loro ordine; teorema sull’inversione di limiti; lemma fondamentale sulla caratterizzazione delle funzioni continue; teorema di Bolzano; teorema di Weiestrass; teorema degli zeri; teorema di Cantor. Omeomorfismi. Teoremi di Brouwer; teorema di prolungamento di Lebesgue-Tietze-Urysohn
11/04

35h

 Calcolo differenziale per le funzioni reali di una variabile reale; nozione di derivata e suo significato geometrico; legame tra derivabilità e continuità; derivata destra e derivata sinistra; punti di non derivabilità;  operazioni sulle funzioni derivabili; le derivate delle funzioni elementari; le derivate di ordine superiore; teorema di Rolle; teorema di Lagrange; teorema di Cauchy; teorema di Fermat.

Esercitazione: calcolo delle derivate; calcolo della retta tangente al grafico della funzione in un punto
17/04

38h

 Il teorema di L’Hospital; infinitesimi e infiniti. Approssimabilità intorno ad un punto di una funzione con polinomi e formula di Taylor. Nozione di differenziale. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni; funzioni crescenti e decrescenti; massimi e minimi relativi; funzioni concave e funzioni convesse; punti di flesso.

Esercitazione: studio completo di una funzione
24/04

42h

 Calcolo differenziale per le funzioni reali e vettoriali di più variabili reali; nozione di differenziale per una funzione reale di più variabili reali; condizione sufficiente per la differenziabilità data attraverso la continuità delle derivate parziali; operazioni sulle funzioni differenziabili; derivate parziali di ordine superiore; teorema di Schwarz sull’invertibilità dell’ordine di derivazione; teorema di Lagrange per le funzioni reali di più variabili reali; funzioni con derivate parziali identicamente nulle; funzioni omogenee; teorema di Eulero.

II modulo (tot. 60h)

Attività didattica dal 01/05/2014 al 31/05/2014

Obiettivi dell’azione didattica

Sapere Saper fare
I concetti di integrale definito e indefinito

Le regole di integrazione

I principali metodi di integrazione

I teoremi caratterizzanti del calcolo integrale

I concetti fondamentali di geometria delle curve

Il concetto di integrale curvilineo

Il concetto di integrale doppio

Le applicazioni dell’integrale doppio

 Calcolare gli integrali indefiniti di funzioni mediante gli integrali immediati e le proprietà di linearità

Calcolare gli integrali definiti di funzioni date dalla combinazione lineare di funzioni fondamentali o la cui primitiva è una funzione composta

Calcolare il valor medio di una funzione

Risolvere gli integrali impropri

Calcolare la lunghezza di una curva

Risolvere gli integrali curvilinei

Risolvere integrali doppi anche con cambiamento di variabili e passaggio a coordinate polari

Calcolare integrali doppi col metodo di Gauss-Green

Attività svolta

02/05

46h

 Funzioni implicite; teorema del Dini per una equazione. Omeomorfismi e omeomorfismi locali di classe Cm. Teorema di invertibilità locale di una trasformazione; teoremi sui minimi e massimi relativi per le funzioni di più variabili.

Esercitazione: calcolo dei massimi e minimi relativi per le funzioni di più variabili reali; massimi e minimi vincolati; metodo dei moltiplicatori di Lagrange; funzioni con hessiano nullo.
08/05

49h

 Integrazione secondo Riemann per le funzioni reali di una variabile reale; proprietà dell’integrale di una funzione continua; teorema fondamentale del calcolo integrale; teorema di integrazione per parti; teorema di integrazione per sostituzione. Proprietà dell’integrale di una funzione limitata e integrabile. Proprietà dell’integrale di una funzione sommabile. Criteri di sommabilità dell’ordine dell’infinitesimo e dell’infinito. Cenni sugli integrali impropri
09/05

53h

 Esercitazione: integrazione delle funzioni elementari; integrazione immediata; integrazione per decomposizione in fratti semplici; integrazione per parti; integrazione per sostituzione. Applicazioni al calcolo delle aree
15/05

56h

 Curve piane e sghembe: curve semplici aperte; curve semplici chiuse; curve semplici piane rappresentate in coordinate polari; orientamento delle curve semplici, aperte o chiuse; curve semplici regolari; curve semplici rettificabili; sistema di ascisse curvilinee su una curva semplice.

Esercitazione: lunghezza di un arco di curva; lunghezza di un arco di curva piana semplice e regolare;
16/05

60h

 Integrali curvilineo di una funzione di due o di tre variabili.
22/05

63h

 Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Circuitazione di un vettore lungo la frontiera di un dominio o lungo il bordo di una superficie
23/05

67h

 Integrali doppi: elementi di teoria della misura per gli insiemi di punti dello spazio. Volume del cilindroide; integrale doppio di una funzione continua in un insieme compatto e misurabile. Proprietà degli integrali doppi. Insiemi normali del piano e dello spazio;
29/05

70h

 Formule di riduzione degli integrali doppi. Formula di inversione di Dirichlet. Formule di Gauss e di Green. Teorema della divergenza e teorema di Stokes nel piano. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Interpretazione geometrica dello jacobiano
30/05

74h

 Esercitazione: calcolo di integrali doppi; cambiamento di variabili; passaggio a coordinate polari; applicazioni al calcolo del volume di un solido di rotazione; teorema di Guldino.

Attività didattica dal 01/06/2014 al 30/06/2014

Obiettivi dell’azione didattica

Sapere Saper fare
Le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine e di ordine superiore

I teoremi di esistenza e unicità “in piccolo” e “in grande”

Le successioni e le serie numeriche

Le serie di funzioni

La formula di Taylor

 Rivolvere equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

Risolvere equazioni differenziali ordinarie di ordine superiore

Risolvere il problema di Cauchy

Risolvere equazioni differenziali con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie

Stabilire se una serie è convergente

Studiare una serie geometrica

Saper applicare la formula di Taylor

Attività svolta

05/06

77h

 Equazioni differenziali ordinarie; equazioni a variabili separabili; equazioni lineari; equazioni di Bernoulli;  teorema di esistenza e unicità del problema di Cauchy; esistenza globale; equazioni lineari scalari di ordine n; equazione omogenea; equazione non omogenea;
06/06

81h

 Esercitazione: risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine; risoluzione di equazioni differenziali del secondo ordine omogenee e non omogenee; risoluzione del problema di Cauchy; stabilità; applicazioni alla meccanica delle strutture.
12/06

84h

 Le serie numeriche: condizioni di convergenza; la serie geometrica; il criterio di Cauchy per le serie; serie a termini non negativi; la serie armonica; serie a termini alterni; convergenza assoluta e convergenza incondizionata; il criterio del rapporto; il criterio della radice; il criterio del confronto
13/06

88h

 Connessione tra serie e integrali; il criterio dell’integrale; il criterio dell’ordine di infinitesimo

Esercitazione: calcolo del carattere si una serie
19/06

91h

 Successioni e serie di funzioni di una variabile reale: convergenza puntuale e convergenza uniforme; serie di potenze nel campo reale; serie di Taylor; sviluppo in serie di Taylor per le funzioni elementari; considerazioni geometriche
20/06

95h

 Esercitazione: campi di esistenza di funzioni reali di una variabile reale; calcolo di limiti notevoli; studio di una funzione reale di una variabile reale
27/06

98h

 Esercitazione: integrali; lunghezza d una curva; integrali curvilinei; integrali doppi
28/06

102h

 Esercitazione: massimi e minimi delle funzioni reali di più variabili reali; equazioni differenziali ordinarie; serie numeriche e serie di funzioni

Il Docente

Prof. Roberto Capone

La programmazione didattica può subire delle modifiche in base alle esigenze. Gli argomenti qui inseriti sono solo quelli programmati.  Gli studenti che sosterranno l’esame dovranno attenersi al programma che sarà stilato alla fine del corso sulle attività effettivamente svolte.

PROGRAMMA SVOLTO