A.A. 2021-22

Corso di Analisi Matematica I – Ingegneria Meccanica e Aerospaziale (A-DAO) – sede San Giovanni

28/09 (2h) Patto formativo con gli studenti. Introduzione alla teoria degli insiemi. Equazioni e disequazioni di primo grado e di secondo grado
29/09 (2h) Equazioni e disequazioni di secondo grado, equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Disequazioni fratte. Sistemi di disequazioni
30/09  (4h) Equazioni e disequazioni in valore assoluto. Equazioni e disequazioni irrazionali. Equazioni e disequazioni logaritmiche, equazioni e disequazioni esponenziali
05/10 (2h) Richiami di trigonometria: definizione di angolo; misura di un angolo; Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotangente; loro rappresentazione grafica; principali valori assunti dalle funzioni trigonometriche; identità trigonometriche fondamentali; archi opposti, archi complementari, supplementari, esplementari, formule di addizione e sottrazione, formule di duplicazione, di bisezione, di prostaferesi, di Werner. Equazioni e disequazioni goniometriche elementari; equazioni e disequazioni goniometriche
06/10 (2h) Concetto di funzione, funzione iniettiva, suriettiva, biettiva, inversa di una funzione, massimo e minimo di una parte di un insieme totalmente ordinato, estremo superiore ed estremo inferiore. Concetto di funzione reale di una variabile reale; diagramma di una funzione reale di variabile reale; funzioni pari e dispari e loro rappresentazione grafica. Alcuni esempi di funzioni elementari: funzione lineare, funzione valore assoluto, funzione potenza con esponente un intero positivo; funzione radice; funzione parte intera.
07/10 (2h) Funzioni reali di una variabili reale; immagine e immagine reciproca, restrizione e prolungamento di una funzione, funzione crescente e funzione decrescente. Alcuni esempi di funzioni elementari: funzione potenza, funzione radice n-esima, funzione logaritmica.
12/10 (2h) Esercizi sui campi di esistenza delle funzioni reali di una variabile reale. Funzioni perdiodiche, le funzioni seno, coseno, tangente e cotangente. Le funzioni inverse trigonometriche: le funzioni arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente. Disequazioni con le inverse trigonometriche. Campi di esistenza con le inverse trigonometriche.
13/10 (2h) Calcolo del periodo delle funzioni. Le funzioni iperboliche, le funzioni iperboliche e la loro rappresentazione esponenziale.  Grafici delle funzioni elementari attarverso le trasformazioni geometriche. Grafici e simmetrie. L’esempio del valore assoluto. Le funzioni sin(arsinx) e arcsin(sinx).
14/10 (2h) I numeri complessi, Il campo dei numeri complessi come struttura algebrica. La forma algebrica dei numeri complessi, la forma trigonometrica e la forma esponenziale. L’algebra dei numeri complessi. La potenza k-esima e la formula di De Moivre. La radice n-esima e la formula inversa di De Moivre.
19/10 (2h) Esercizi su i numeri complessi. Risoluzione di equazioni algebriche nel campo complesso, rappresentazione delle soluzioni nel piano di Argand-Gauss.

Introduzione allo studio dei limiti. Introduzione storica, teorema di Bolzano – Weiestrass sui punti di accumulazione (con dim), Punti di accumulazione e punti isolati. Cenni di topologia della retta reale, Insiemi compatti. Teorema di Heine-Borel. Nozione di limite
20/10 (3h) Nozione di limite al finito e non. Significato geometrico dei limiti nello studio delle funzioni reali. Concetto di asintoto. Teorema di unicità del limite (con dim), Teorema sull’esistenza del limite di una funzione monotona. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Nozione di continuità globale e locale. Teorema di Bolzano sulla continuità di una funzione monotona (con dim)
26/10 (3h) Definizione di continuità epsilon-delta (esempi e controesempi). Teorema di prolungamento per continuità (con dim.) Teorema degli zeri e significato geometrico. Teorema della permanenza del segno (con dim.). Esercizi sui limiti delle forme inderminate 0/0 e inf/inf. Gerarchia degli infiniti. Ordine dell’infinito e ordine dell’infinitesimo. Limiti notevoli
27/10 (2h) Esercizi su Sup, Inf, Max, MIn., teorema inverso del teorema di permanenza del segno (con dim), teorema di regolarità per confronto (dei carabinieri) (con dim), teorema degli zeri (con dim). Esercizi sui limiti notevoli
28/10 (4h) Teorema di Weiestrass, I teorema dei valori intermedi (con dim), II teorema dei valori intermedi (con dim); criterio di invertibilità pe rle funzioni attraverso la continuità (con dim); Continuità uniforme; teorema di Cantor. Limite notevole sinx/x (con dim). Operazioni coi limiti e relativi teoremi; teorema sul limite di una funzone composta. Forme indeterminate.
04/11 (2h) Punti di discontinuità e significato geometrico; applicazioni dei limiti allo studio delle funzioni; calcolo degli asintoti orizontali, verticali, obbliqui. Esercizi
09/11 (2h) Esercitazione su campi di esistenza, numeri complessi e limiti.
10/11 (3h) Prova intercorso
11/11 (2h) Successioni numeriche: generalità; rappresentazione grafica; convergenza e divergenza; teorema di unicità del limite; teorema del limite delle successioni monotone;
16/11 (2h) Succesioni numeriche: alcuni teoremi fondamentali (teorema di permanenza del segno nella prima forma; teorema di permanenza del segno nella seconda forma; teorema del confronto). Teorema ponte e suo inverso. Serie numeriche; condizione necessaria pe rla convergenza; criterio di convergenza di Cauchy; serie geometrica; serie a termini positivi; primo criterio del confronto; secondo crterio del confronto; criterio del rapporto; criterio della radice.
17/11 (2h) Serie a termini qualsiasi; condizione sufficiente per la convergenza; criterio di Leibnitz. Esercizi sul carattere delle serie.

Introduzione al calcolo differenziale: note storiche sul problema della tangente; equazione della retta tangente al grafico della funzione in un punto; legame tra continuità e derivabilità (con dim) e controesempi. Derivata sinistra e derivata destra; punti di non derivabilità (flessi a tangente verticale; cuspidi, punti angolosi.
18/11 (2h) Derivate delle funzioni elementari, derivate delle funzioni composte. Teorema sulla derivabilità di una somma, di un prodotto e di un quoziente; teorema sulla derivabilità di una funzione composta;  teorema di Rolle e suo significato geometrico (con dim); teorema di Lagrange e suo significato geometrico (con dim); teorema di Cauchy e suo significato geometrico (con dim); teorema di Fermat sulle funzioni con derivara nulla (con dim)
23/11 (2h) Studio di una funzione; condizione necessaria per l’esistenza di un minimo o di un massimo relativo; condizione necessaria per la monotonia; condizione sufficiente per la monotonia; studio completo di un afunzione; continuità e derivabilità (esempi e controesempi)
24/11 (3h) Studio di una funzione irrazionale con indice dispari; esercizi su continuità e derivabilità; teorema di de l’Hospital; derivate di ordine superiore; applicazione allo studio di una funzione; caratterizzazione delle funzioni convsse o concave derivabili; caratterizzazione delle funzioni convesso o concave derivabili due volte.
25/11 (2h)

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 Studio di una funzione con valore assoluto. Formula di Taylor; formula degli incrementi finiti; polinomio di Taylor di ordine n.

Applicazione della formula di Taylor al calcolo dei limiti; sviluppi in serie di funzioni notevoli, teorema di unicità del polinomio di Taylor, proprietà del simbolo di Landau, sviluppo di una somma, sviluppo di un prodotto, sviluppo di un quoziente, sviluppo di funzioni composte

Cenni di calcolo numerico. Calcolo approssimato delle radici di una equazione. metodo di bisezione o dicotomico, metodo delle secanti, metodo delle tangenti; secondo teorema degli zeri.

Nozione di integrale per una funzione reale continua in un intervallo chiuso e limitato. Somme di Riemann; proprietà dell’integrale di una funzione continua: proprietà di linearità, proprietà di additività; teorema della media (con dim.) proprietà di monotonia;  definizione di integrale indefinito: integrazione indefinita delle funzioni elementari.

Integrali immediati. Tecniche di risoluzione di integrali indefiniti: integrali per parti; integrazione di funzioni fratte; integrali per sostituzione. Lemma fondamentale del calcolo integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.

Tecniche di integrazione di funzioni irrazionali e di funzioni trigonometriche.

Criteri di sommabilità. Integrali impropri di primo tipo, secondo tipo e terzo tipo