Matematica II – Ing. Mecc./Gest.

09/03/2021 I vettori numerici, dipendenza lineare di vettori numerici, matrici e prime proprietà: matrice simmetrica, emisimmetrica, trasposta, determinante di una matrice 2×2, determinante di una matrice 3×3, regola di Sarrus, regola di Laplace. Matrice identità, matrice inversa (condizione necessaria e sufficiente per l’invertibilità). Operazioni tra matrici:  somma, prodotto per uno scalare, prodotto righe per colonne e proprietà.
11/03/2021 Proprietà dei determinanti, inversa di una matrice, calcolo del determinante con l’algoritmo di Gauss, rango di una matrice, teorema degli orlati, rango di una matrice a scalini
16/03/2021 Sistemi lineari, teorema di Rouchè-Capelli, sistemi di Cramer, esempi di sistemi compatibili e impossibili, sistemi omogenei,
18/03/2021 Autovalori e autovettori di una matrice, traccia e polinomio caratteristico, molteplicità algebrica e geometrica; autospazio, base di un autospazio,  diagonalizzazione, caratterizzazione della diagonalizzazione,
23/03/2021 Spazi vettoriali, prime proprietà, dipendenza lineare di vettori, generatori, base di uno spazio vettoriale, teorema della base, sottospazio, teorema di esistenza di una base, dimensione, dimensione e rango, operazioni tra sottospazi: sottospazio intersezione
25/03/2021 Sottospazio somma; somma diretta, formula di Grassman; spazi vettoriali euclidei, sottospazio ortogonale
30/03/2021 Esercitazione su sistemi lineari, diagonalizzazione, sottospazi, basi e dimensioni.

Introduzione alla geometria dello spazio. Distanza di due punti, punto medio di un segmento. Equazione di un piano, equazione della retta in forma parametrica e in forma di intersezione di due piani. Condizione di parallelismo tra due piani, condizione di perpendicolarità tra due piani. Retta per un punto e parallela a una retta data.
08/04/2021 Geometria dello spazio: condizione di allineamento di tre punti, intersezione di due rette, rette complanari e rette sghembe, equazione di un piano passante per un punto di intersezione di due rette e che contiene entrambe, piani paralleli e piani perpendicolari; equazione di un piano per un punto e parallelo a un altro; retta per un punto e parallela a un’altra, parallelismo di una retta e di un piano, fascio di piani, retta per un punto e contenente una retta data; piano contenente una retta e parallelo a una retta data; piano per un punto e parallelo a due rette date; condizione di perpendicolarità tra rette; vettore normale a un piano, perpendicolarità tra retta e piano; perpendicolarità tra due piani;
13/04/2021 Distanza tra due rette complanari e distanza tra rette sghembe, circonferenza, la parabola, l’ellisse e l’iperbole nel piano, sfera nello spazio.

Funzioni reali di due variabili reali, classificazione delle funzioni e calcolo del dominio, curve di livello e loro rappresentazione.
15/04/2021 Richiami sullo spazio vettoriale R2, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nozioni di intorno, punto di accumulazione. insiemi limitati e non limitati. Nozione di limite. esistenza del limite e controesempi, limite infinito, limite finito. Nozione di continuità, continuità per le funzioni composte, teorema di Weiestrass, teorema di esistenza dei valori intermedi, teorema di Cantor.
20/04/2021 Calcolo differenziale per le funzioni reali di due variabili reali. concetto di derivata parziale, significato geometrico, equazione del piano tangente a una funzione in un punto. Derivate di ordine successivo, relazione tra continuità e derivabilità, concetto di derivata direzionale. Teorema di Schwarz,
22/04/2021 Esercitazione su massimi e minimi relativi, massimi e minimi assoluti.
26/04/2021 Nozione di differenziabilità, teorema del differenziale totale. Relazione tra continuità e differenziabilità. Formula del gradiente, significato geometrico del gradiente, differenziale primo. Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat (condizione necessaria del I ordine), teorema delle funzioni con gradiente nullo,
27/04/2021 Massimi e minimi relativi per le funzioni reali in due variabili (applicazioni ed esempi). Teorema di Weiestrass, teorema di Weierstrass modificato. Massimi e minimi assoluti. Massimi e minimi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Significato geometrico del teorema di Lagrange
29/04/2021 Esercitazione su massimi e minimi relativi e massimi e minimi vincolati.

Curve e integrali curvilinei:curve aperte e chiuse, omeomorfismi, rappresentazione parametrica di una curva, lunghezza di una curva, curve equivalenti, teorema sulla lunghezza delle curve equivalenti
04/05/2021 Esercizi sulla lunghezza di una curva. Integrali curvilinei. Indipendenza dell’integrale curvilineo dalla parametrizzazione della curva. Applicazioni alla fisica: Calcolo del baricentro e del momento d’inerzia
06/05/2021 Forme differenziali lineari. Integrali curvilinei di forme differenziali. Forme differenziali chiuse ed esatte. Calcolo di una primitiva di una forma differenziale esatta
11/05/2021 Caratterizzazione delle forme differenziali esatte, teorema fondamentale degli integrali curvilinei delle forme differenziali esatte. Campi di forze, campi conservativi e irrotazionali. Calcolo del potenziale di un campo conservativo, calcolo del lavoro di un campo di forze.
13/05/2021 Prova intercorso
18/05/2021 Forme differenziali, teorema di indipendenza dalla parametrizzazione degli integrali curvilinei, formula fondamentale per gli integrali curvilinei di forme esatte, caratterizzazione delle forme esatte, insiemi stellati, chiusura ed esattezza, campi conservativi; caratterizzazione dei campi conservativi.
20/05/2021 Integrali doppi, definizioni e proprietà. formule di riduzione degli integrali doppi, calcolo del volume. Cambiamento di variabili negli integrali doppi: coordinate polari
25/05/2021 Esercizi sugli integrali doppi. Integrazione su domini non semplici, cambiamento di variabili; teorema del cambiamento di variabili, significato dello Jacobiano,
27/05/2021 Applicazioni dell’integrale doppio: calcolo della densità di una lamina omogenea, calcolo del baricentro, calcolo del momento d’inerzia. Integrali tripli: definizioni e generalità, cambiamento di variabili, coordinate cilindriche, coordinate sferiche. Esercizi
28/05/2021 Formule di Gauss-Green, calcolo delle aree e calcolo dei volumi. Applicazioni
01/06/2021 Superfici: definizioni e proprietà, superfici semplici e regolari, superfici di rotazione, esempi di superfici di rotazione (iperboloide, paraboloide, ellissoide), superifci orientabili, area di una superficie. Integrali superficiali di I specie.
03/06/2021 Esercizi su integrali superficiali di I specie. Calcolo del flusso di un campo vettoriale, teorema della divergenza, teorema del rotore.
04/06/2021 Esercitazione: integrali superficiali
08/06/2021 Equazioni differenziali: definizioni e prime proprietà; equazioni lineari ordinarie del I ordine (omogenee e non omogenee), equazioni differenziali del I ordine non lineari: equazioni di Bernoulli, equazioni del tipo f(x/y) e riconducibili a questa. Teorema di esistenza e unicità in grande.
10/06/2021 Equazioni differenziali ordinarie del II ordine a coefficienti costanti. Metodo di risoluzione per somiglianza, metodo di risoluzione con la variazione delle costanti arbitrarie.
15/06/2021 Esercitazione. Teorema di esistenza e unicità in piccolo